濾波是將信號(hào)中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項(xiàng)重要措施。

根據(jù)觀察某一隨機(jī)過程的結(jié)果，對(duì)另一與之有關(guān)的隨機(jī)過程進(jìn)行估計(jì)的概率理論與方法。濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號(hào)中提取有用信號(hào)的一種技術(shù)。“接收信號(hào)”相當(dāng)于被觀測(cè)的隨機(jī)過程，“有用信號(hào)”相當(dāng)于被估計(jì)的隨機(jī)過程。例如用雷達(dá)跟蹤飛機(jī)，測(cè)得的飛機(jī)位置的數(shù)據(jù)中，含有測(cè)量誤差及其他隨機(jī)干擾，如何利用這些數(shù)據(jù)盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)出飛機(jī)在每一時(shí)刻的位置、速度、加速度等，并預(yù)測(cè)飛機(jī)未來的位置，就是一個(gè)濾波與預(yù)測(cè)問題。這類問題在電子技術(shù)、航天科學(xué)、控制工程及其他科學(xué)技術(shù)部門中都是大量存在的。歷史上*早考慮的是維納濾波，后來R。E?？柭?span lang="EN-US">R。S。布西于20世紀(jì)60年代提出了卡爾曼濾波?，F(xiàn)對(duì)一般的非線性濾波問題的研究相當(dāng)活躍。

濾波是信號(hào)處理中的一個(gè)重要概念。

經(jīng)典濾波的概念，是根據(jù)傅立葉分析和變換提出的一個(gè)工程概念。根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，任何一個(gè)滿足一定條件的信號(hào)，都可以被看成是由無限個(gè)正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號(hào)是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號(hào)的不同頻率的正弦波叫做信號(hào)的頻率成分或叫做諧波成分。只允許一定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)成分正常通過，而阻止另一部分頻率成分通過的電路，叫做經(jīng)典濾波器或濾波電路。

實(shí)際上，任何一個(gè)電子系統(tǒng)都具有自己的頻帶寬度（對(duì)信號(hào)*高頻率的限制），頻率特性反映出了電子系統(tǒng)的這個(gè)基本特點(diǎn)。而濾波器，則是根據(jù)電路參數(shù)對(duì)電路頻帶寬度的影響而設(shè)計(jì)出來的工程應(yīng)用電路。

現(xiàn)代濾波

用模擬電子電路對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)中頻率成分的選擇。根據(jù)頻率濾波時(shí)，是把信號(hào)看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬信號(hào)，通過選擇不同的頻率成分來實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波。

當(dāng)允許信號(hào)中較高頻率的成分通過濾波器時(shí)，這種濾波器叫做高通濾波器。

當(dāng)允許信號(hào)中較低頻率的成分通過濾波器時(shí)，這種濾波器叫做低通濾波器。

當(dāng)只允許信號(hào)中某個(gè)頻率范圍內(nèi)的成分通過濾波器時(shí)，這種濾波器叫做帶通濾波器。

理想濾波器的行為特性通常用幅度－頻率特性圖描述，也叫做濾波器

對(duì)于濾波器，增益幅度不為零的頻率范圍叫做通頻帶，簡(jiǎn)稱通帶，增益幅度為零的頻率范圍叫做阻帶。例如對(duì)于LP，從－W1當(dāng)W1之間，叫做LP的通帶，其他頻率部分叫做阻帶。通帶所表示的是能夠通過濾波器而不會(huì)產(chǎn)生衰減的信號(hào)頻率成分，阻帶所表示的是被濾波器衰減掉的信號(hào)頻率成分。通帶內(nèi)信號(hào)所獲得的增益，叫做通帶增益，阻帶中信號(hào)所得到的衰減，叫做阻帶衰減。在工程實(shí)際中，一般使用DB作為濾波器的幅度增益單位。

按照濾波是在一整段時(shí)間上進(jìn)行或只是在某些采樣點(diǎn)上進(jìn)行，可分為連續(xù)時(shí)間濾波與離散時(shí)間濾波。前者的時(shí)間參數(shù)集T可取為實(shí)半軸【0，∞）或?qū)嵼S（－∞，∞）；后者的T可取為非負(fù)整數(shù)集｛0，1，2，…｝或整數(shù)集｛…，－2，－1，0，1，2，…｝。設(shè)X＝｛X，T∈T＝｛Y，T∈T）有窮，即其中X為被估計(jì)過程，它不能被直接觀測(cè)；Y為被觀測(cè)過程，它包含了X的某些信息。用表示到時(shí)刻T為止的觀測(cè)數(shù)據(jù)全體，如果能找到中諸元的一個(gè)函數(shù)？（），使其均方誤差達(dá)到極小，就稱為XT的*優(yōu)濾波；如果取極小值的范圍限于線性函數(shù)，就稱為XT的線性*優(yōu)濾波。可以證明，*優(yōu)濾波與線性*優(yōu)濾波都以概率1惟一存在。對(duì)于前者，憫T就是XT關(guān)于σ（）（生成的σ域）的條件期望，記作對(duì)于后者，若進(jìn)一步設(shè)均值EXT呏EYT呏0，則憫T就是XT在所張成的希爾伯特空間上的投影，記作如果（X，Y）是二維正態(tài)過程，則*優(yōu)濾波與線性*優(yōu)濾波是一致的。

為了應(yīng)用和敘述的方便，有時(shí)還把上面的定義更細(xì)致地加以分類。設(shè)τ為一確定的實(shí)數(shù)或整數(shù)，且考慮被估計(jì)過程為。

或。按照τ＝0、τ》0、τ《0，分別稱為*優(yōu)濾波、（τ步）預(yù)測(cè)或外推、（τ步）平滑或內(nèi)插，分別為對(duì)應(yīng)的誤差與均方誤差，而統(tǒng)稱這類問題為濾波問題。濾波問題的主要課題是研究對(duì)哪些類型的隨機(jī)過程X和Y，可以并且如何用觀測(cè)結(jié)果的某種解析表示式，或微分方程，或遞推公式等形式，表達(dá)出并進(jìn)而研究它們的種種性質(zhì)。此外，上面所指的一維隨機(jī)過程X、Y，都可以推廣為多維隨機(jī)過程。

維納濾波歷史上*先考慮的是寬平穩(wěn)過程（見平穩(wěn)過程）的線性預(yù)測(cè)和濾波問題，它的一般模型是YT＝XT＋NT，其中（X，N）為二維寬平穩(wěn)過程或序列，其譜分布函數(shù)已知，其均值為零。設(shè)從－∞到時(shí)刻T為止的全部Y的值都已被觀測(cè)到，求X的τ步線性預(yù)測(cè)及其均方誤差。如果限于考慮N＝0、τ》0的情形，則變成在無誤差觀測(cè)條件下X本身的線性預(yù)測(cè)問題；如果N≠0、τ≤0，則變成從受到噪聲N干擾的接收信號(hào)Y中提取有用信號(hào)X的濾波問題。1939～1941年，Α。Η。柯爾莫哥洛夫利用平穩(wěn)序列的沃爾德分解（見平穩(wěn)過程），給出了線性預(yù)測(cè)的一般理論與處理辦法，隨即被推廣到連續(xù)時(shí)間的平穩(wěn)過程。N。維納則在1942年對(duì)于平穩(wěn)序列與過程的譜密度存在且滿足某種正則條件的情形，利用譜分解導(dǎo)出了線性*優(yōu)預(yù)測(cè)和濾波的明顯表達(dá)式，即維納濾波公式，并在防空火力控制、電子工程等部門獲得了應(yīng)用。上述模型在50年代被推廣到僅在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行觀測(cè)的平穩(wěn)過程以及某些特殊的非平穩(wěn)過程，其應(yīng)用范圍也擴(kuò)充到更多的領(lǐng)域。至今它仍是處理各種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)（如氣象、水文、地震勘探等）及預(yù)測(cè)未來的有力工具之一。

維納濾波公式是通過平穩(wěn)過程的譜分解導(dǎo)出的，難以推廣到較一般的非平穩(wěn)過程和多維情形，因而應(yīng)用范圍受到限制。另一方面，在不斷增加觀測(cè)結(jié)果時(shí)，不易從已算出的濾波值及新的觀測(cè)值較簡(jiǎn)單地求出新的濾波值，特別是不能滿足在電子計(jì)算機(jī)上快速處理大量數(shù)據(jù)的需要。

卡爾曼濾波由于高速電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展以及測(cè)定人造衛(wèi)星軌道和導(dǎo)航等技術(shù)問題的需要，R。E?？柭cR。S。布西于20世紀(jì)60年代初期提出了一類新的線性濾波的模型與方法，通稱為卡爾曼濾波。其基本假設(shè)是，被估計(jì)過程X為隨機(jī)噪聲影響下的有限階多維線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出，而被觀測(cè)的YT則是XT的部分分量或其線性函數(shù)與量測(cè)噪聲的疊加，這里并不要求平穩(wěn)性，但要求不同時(shí)刻的噪聲值是不相關(guān)的。此外，觀測(cè)只需從某一確定時(shí)刻開始，而不必是無窮長(zhǎng)的觀測(cè)區(qū)間。更重要的是，適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，卡爾曼濾波公式不是將估計(jì)值表成觀測(cè)值的明顯的函數(shù)形式，而是給出它的一種遞推算法（即實(shí)時(shí)算法）。具體地說，對(duì)于離散時(shí)間濾波，只要適當(dāng)增大X的維數(shù)，就可以將T時(shí)刻的濾波值表成為前一時(shí)刻的濾波值與本時(shí)刻的觀測(cè)值YT的某種線性組合。對(duì)于連續(xù)時(shí)間濾波，則可以給出與YT所應(yīng)滿足的線性隨機(jī)微分方程。在需要不斷增加觀測(cè)結(jié)果和輸出濾波值的情形，這樣的算法加快了處理數(shù)據(jù)的速度，而且減少了數(shù)據(jù)存貯量?？柭€證明，如果所考慮的線性系統(tǒng)滿足某種“可控性”和“可觀測(cè)性”（這是現(xiàn)代控制理論中由卡爾曼提出的兩個(gè)重要概念），那么*優(yōu)濾波一定是“漸近穩(wěn)定”的。大致說來，就是由初始誤差、舍入誤差及其他的不準(zhǔn)確性所引起的效應(yīng)，將隨著濾波時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸消失或趨于穩(wěn)定，不致形成誤差的積累。這在實(shí)際應(yīng)用上是很重要的。

卡爾曼濾波也有多種形式的推廣，例如放寬對(duì)噪聲不相關(guān)性的限制，用線性系統(tǒng)逼近非線性系統(tǒng)，以及所謂“自適應(yīng)濾波”，等等，并獲得了日益廣泛的應(yīng)用。

非線性濾波前已說明，一般的非線性*優(yōu)濾波可歸結(jié)為求條件期望的問題。對(duì)于有限多個(gè)觀測(cè)值的情形，條件期望原則上可以用貝葉斯公式來計(jì)算。但即使在比較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合，這樣得出的結(jié)果也是相當(dāng)繁雜的，無論對(duì)實(shí)際應(yīng)用或理論研究都很不方便。與卡爾曼濾波類似，人們也希望能給出非線性濾波的某種遞推算法或它所滿足的隨機(jī)微分方程。但一般它們并不存在，因此必須對(duì)所討論的過程X與Y加以適當(dāng)?shù)南拗啤７蔷€性濾波的研究工作相當(dāng)活躍，它涉及隨機(jī)過程論的許多近代成果，如隨機(jī)過程一般理論、鞅、隨機(jī)微分方程、點(diǎn)過程等。其中一個(gè)十分重要的問題，是研究在什么條件下，存在一個(gè)鞅M，使得在任何時(shí)刻，M和Y都包含同樣的信息；這樣的M稱為Y的新息過程。目前對(duì)于一類所謂“條件正態(tài)過程”，已經(jīng)給出了非線性*優(yōu)濾波的可嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)的遞推算式。在實(shí)際應(yīng)用上，對(duì)非線性濾波問題往往采用各種線性近似的方法。